Αυτοκαθορισμός

Αυτοκαθορισμός

Σάββατο, 11 Φεβρουαρίου 2017

Το επίπεδο σύμπαν..



Αποτέλεσμα εικόνας για Τόρος  



Τα αποτελέσματα ενός πειράματος κοσμολογίας που δημοσιεύονται στο περιοδικό Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, προσδιορίζουν το μέγεθος και το σχήμα του Σύμπαντος, με ακρίβεια της τάξης του 1%. Τα στοιχεία από τις έρευνες αυτές ίσως αποβούν καθοριστικά για την εξακρίβωση της φύσης της σκοτεινής ενέργειας, της μυστηριώδους δύναμης που προκαλεί την επιτάχυνση στη διαστολή του Σύμπαντος.   
Η Φασματοσκοπική Μελέτη Ταλαντώσεων των Βαρυονίων (Baryonic Oscillation Spectroscopic Survey - BOSS) είναι το μεγαλύτερο από τα τέσσερα πειράματα στα πλαίσια της έρευνας Sloan Digital Sky III, η οποία αποσκοπεί στη λεπτομερή καταγραφή του ουρανού του βόρειου ημισφαιρίου. 
Η ανάλυση των δεδομένων του BOSS περιλαμβάνει φάσματα από 1.277.503 γαλαξίες, 160.000 κβάζαρς και χιλιάδες άλλα αντικείμενα, συγκροτώντας το μεγαλύτερο δείγμα του Γαλαξία που έχει παρατηρηθεί μέχρι σήμερα με τόση λεπτομέρεια.
Σε συνδυασμό με τα τελευταία δεδομένα από τις μετρήσεις της κοσμικής ακτινοβολίας υποβάθρου, του απόηχου δηλαδή της Μεγάλης Έκρηξης, αλλά και από μετρήσεις διάφορων σουπερνόβα, τα αποτελέσματα από το BOSS συνιστούν πως η σκοτεινή ενέργεια είναι μία μορφή κοσμολογικής σταθεράς, η τιμή της οποία παραμένει αμετάβλητη στο χώρο και στο χρόνο. 
Η κοσμολογική σταθερά είχε εισαχθεί στη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας για πρώτη φορά από τον ίδιο τον Αϊνστάιν ως μία εγγενής ιδιότητα του χωροχρόνου, προκειμένου να λειτουργήσει ως ένας αντισταθμιστικός παράγοντας ώστε οι εξισώσεις του να περιγράφουν ένα στατικό Σύμπαν. 
Όταν μερικά χρόνια αργότερα ανακαλύφθηκε η διαστολή του Σύμπαντος, ο Αϊνστάιν την απέσυρε και παρέμεινε για αρκετές δεκαετίες σε αφάνεια. 
Τα τελευταία χρόνια έχει επιστρέψει στο προσκήνιο με μία διαφορετική μορφή από την αρχική, ως μία πιθανή εξήγηση στο γρίφο της σκοτεινής ενέργειας.
Το BOSS στοχεύει και στον προσδιορισμό του σχήματος του Σύμπαντος, μία ακόμη παραμέτρου που αποτελεί κλειδί για την κατανόηση της προέλευσης και της εξέλιξής του. 
Το σχήμα του Σύμπαντος εξαρτάται άμεσα από την κυρτότητα που εμφανίζει, με τους επιστήμονες του πειράματος να απαντούν λιτά "πως το Σύμπαν δε φαίνεται να είναι πολύ κυρτωμένο". Πρόκειται για μία ακόμη ένδειξη πως ίσως το Σύμπαν να είναι τόσο λεπτά ρυθμισμένο ώστε να είναι τελείως επίπεδο, κάτι που με απλά λόγια σημαίνει πως η Ευκλείδια γεωμετρία το περιγράφει ικανοποιητικά.
Οι παρατηρήσεις ενός επίπεδου Σύμπαντος λειτουργούν και υπέρ της θεωρίας του κοσμικού πληθωρισμού, της ιδέας δηλαδή πως το Σύμπαν για ένα πολύ σύντομο διάστημα μετά τη Μεγάλη Έκρηξη διογκώθηκε με εκθετικό ρυθμό, η οποία μπορεί να εξηγήσει αυτή την απίστευτη σύμπτωση της έλλειψης κυρτότητας.  Ένα στοιχείο που σχετίζεται με το σχήμα του Σύμπαντος είναι και το μέγεθός του, με τους επιστήμονες του BOSS να αναφέρουν πως είναι πιθανό το Σύμπαν να διαστέλλεται για πάντα στο χώρο και να υπάρχει για πάντα στο χρόνο, κάτι που συμβαδίζει με την ιδέα ενός άπειρου Σύμπαντος.
Το πείραμα θα συνεχίσει να λαμβάνει δεδομένα μέχρι και τον Ιούνιο και οι πρώτες δημοσιεύσεις στηρίχτηκαν στα μέχρι στιγμής δεδομένα που αντιστοιχούν στο 90% του τελικού συνόλου. 


physics4u - Ποιο είναι το σχήμα του σύμπαντος;

Όσοι έχουν διαβάσει εκλαϊκευμένα βιβλία της φυσικής και της αστρονομίας, συχνά βλέπουν ότι το big bang εξηγείται με τη χρήση μιας εικόνας που περιγράφει ένα σύμπαν δύο διαστάσεων (σαν την επιφάνεια ενός μπαλονιού) που επεκτείνεται στις τρεις διαστάσεις. Τι σχήμα όμως έχει στην πραγματικότητα το σύμπαν;

Ασφαλώς όλοι μας όπως και οι περισσότεροι αστρονόμοι θα ήθελαν να γνωρίζουν το σχήμα του σύμπαντος. Για το σχήμα υπάρχουν τρεις γενικές δυνατότητες.

Πρώτον, όπως και το μπαλόνι, το σύμπαν μπορεί να έχει αυτό που λέμε θετική καμπυλότητα, σαν μια σφαίρα. Στην περίπτωση αυτή, που ονομάζουμε «κλειστό» σύμπαν, το σύμπαν θα είναι πεπερασμένο σε μέγεθος, αλλά χωρίς όρια, όπως και το μπαλόνι. Σε ένα κλειστό σύμπαν, θα μπορούσε, κατ 'αρχήν, να πετάξει ένα διαστημόπλοιο συνεχώς προς τη μια κατεύθυνση και να επιστρέψει στο σημείο από όπου ξεκίνησε. Το κλειστό σύμπαν είναι επίσης κλειστό και στον χρόνο: αυτό τελικά θα σταματήσει κάποτε την διαστολή, και έπειτα θα γίνει αυτό που λέμε "Μεγάλη Σύνθλιψη", δηλαδή το σύμπαν θα φτάσει στο σημείο που ξεκίνησε.  
Όλη η γνωστή γεωμετρία που ξέρουμε σε μια σφαίρα είναι επίσης ίδια και σε ένα κλειστό σύμπαν: για παράδειγμα οι παράλληλες γραμμές τελικά συγκλίνουν (π.χ. οι μεσημβρινοί που είναι παράλληλοι στον ισημερινό, συγκλίνουν τελικά στο πόλους), τα μεγάλα τρίγωνα έχουν πάνω από 180 μοίρες, κλπ.


Η δεύτερη δυνατότητα που έχει ένα σύμπαν είναι να είναι επίπεδο ή με μηδενική καμπυλότητα. Αυτό το είδος του σύμπαντος, μπορείτε να το φανταστείτε αν κόψετε μια φέτα του υλικού από ένα μπαλόνι και το απλώσετε με τα χέρια σας. 
Η επιφάνεια του υλικού είναι επίπεδη, δεν είναι κυρτή, αλλά μπορείτε να το ανοίξετε βάζοντας δύναμη σε κάθε άκρο του. 
Το επίπεδο σύμπαν είναι άπειρο σε έκταση στο χώρο, και δεν έχει όρια. 
Οι παράλληλες γραμμές είναι πάντα παράλληλες και τα τρίγωνα έχουν πάντα 180 μοίρες. 
Το επίπεδο σύμπαν θα εκτείνεται για πάντα, αλλά ο ρυθμός διαστολής προσεγγίζει το μηδέν.

Τέλος, το σύμπαν μπορεί να είναι "ανοικτό", ή να έχει αρνητική καμπυλότητα σύμφωνα με τους μαθηματικούς. Αυτό είναι ένα είδος σύμπαντος σε σχήμα σέλας. Επίσης, είναι άπειρο και χωρίς όρια. Οι παράλληλες γραμμές τελικά αποκλίνουν, και τα τρίγωνα έχουν λιγότερο από 180 μοίρες. Τα ανοικτά σύμπαντα θα διαστέλλονται για πάντα, ενώ ο ρυθμός της διαστολής ποτέ δεν θα προσεγγίσει το μηδέν.

Τι είναι όμως αυτό που καθορίζει το σχήμα του σύμπαντος; 
Είναι η πυκνότητα (και η κοσμολογική σταθερά, ένα είδος αντι-βαρυτικής δύναμης που επιτρέπεται από την Γενική Σχετικότητα).

Ενώ είναι δύσκολο να υπολογίσουμε ποια είναι η ακριβής πυκνότητα - της ενέργειας και της ύλης - του σύμπαντος σήμερα, φαίνεται από πολλές μετρήσεις ότι το σύμπαν είναι μάλλον επίπεδο κι όχι σφαιρικό. 

Η παρανόηση

Βέβαια οι περισσότεροι θα σκεφτούν γιατί το Σύμπαν να είναι επίπεδο κι όχι σφαιρικό. Αν πράγματι το Σύμπαν γεννήθηκε με μία Μεγάλη Έκρηξη δεν θα ήταν πιο λογικό το Big Bang να οδηγούσε σε ένα σύμπαν σε σχήμα σφαίρας που θα επεκτείνεται, διατηρώντας παράλληλα το σχήμα της σφαίρας;

Η έννοια του Big Bang έχει συχνά παρερμηνευθεί. Οι πιο πολλοί εκτιμούν ότι κάτι εξερράγη κάπου και στη συνέχεια το μέρος που εξερράγη επεκτείνεται όπως είναι σήμερα. Είναι μια βασική παρανόηση. Πριν από το Big Bang, δεν υπήρχε χώρος ή χρόνος. Έτσι, δεν υπάρχει τίποτα "εκτός" το Big Bang. 
Το Σύμπαν απλά εξελίχθηκε από έναν πολύ μικρό όγκο σε ένα τεράστιο όγκο, ενώ συνεχίζει ακόμη και σήμερα να διαστέλλεται. 
Έτσι, ο τόπος στον οποίο είμαστε σήμερα αντιστοιχεί σε κάποιο μέρος σε ένα πολύ μικρό όγκο στο πολύ πρώιμο Σύμπαν. 
Ως εκ τούτου, το Big Bang συνέβη παντού μέσα στο Σύμπαν, σε όλες τις θέσεις, συμπεριλαμβανομένων και της Γης όπου βρισκόμαστε τώρα.

Και γιατί όλοι οι άνθρωποι έχουν παρερμηνεύσει το Big Bang;
Αυτή η παρερμηνεία του κόσμου οφείλεται σε μια παρεξήγηση. 
 Όλοι οι ειδικοί για να δώσουν μια οπτική εικόνα του Big Bang, αναφέρουν ότι το σύμπαν διαστέλλεται σαν ένα μπαλόνι που φουσκώνει. Και γι αυτό μας προκαλεί τόση σύγχυση η πρώτη εικόνα-παράδειγμα που μας έδωσαν στο σχολείο. Σβήστε την λοιπόν από το μυαλό σας.
Το πρόβλημα με το μπαλόνι είναι ότι πρόκειται για μια δισδιάστατη επιφάνεια σε μια τρισδιάστατη κατάσταση. 
Νομίζουμε λοιπόν ότι οτιδήποτε συμβαίνει στις δύο διαστάσεις στην επιφάνεια του μπαλονιού συμβαίνει και στις τρεις διαστάσεις στο σύμπαν. 
Για παράδειγμα, ενώ η επιφάνεια του μπαλονιού "απλώνεται" αναλογικά σε δύο κατευθύνσεις, το σύμπαν αναλογικά εκτείνεται σε ΤΡΕΙΣ κατευθύνσεις. 
 Η τρίτη διάσταση στο μπαλόνι (δηλαδή η κατεύθυνση που είναι κάθετη προς την επιφάνεια και που μας επιτρέπει να δούμε την καμπυλότητα του μπαλονιού γι αυτό και έχουμε την παρανόηση της σφαίρας - σύμπαντος), είναι η τέταρτη διάσταση στο σύμπαν μας. 
Και δυστυχώς δεν έχουμε την δυνατότητα να παρακολουθήσουμε αυτή την «τέταρτη διάσταση» στον τρισδιάστατο Κόσμο μας.
Για την άρση της παρεξήγησης να προτιμούμε την αναλογία του σταφιδόψωμου. 
Σε αυτή την αναλογία, το σύμπαν είναι η άμορφη μάζα της ζύμης που ψήνεται στον  φούρνο και αρχίζει να φουσκώνει. 
Οι σταφίδες αντιπροσωπεύουν τους γαλαξίες μέσα στο σύμπαν. 
Και καθώς φουσκώνει η ζύμη, οι αποστάσεις ανάμεσα στις σταφίδες (τους γαλαξίες) αυξάνονται και στις τρεις κατευθύνσεις.

Το παρατηρήσιμο σύμπαν και ο πληθωρισμός

Και γιατί το Σύμπαν να φαίνεται επίπεδο; 
Είναι ένα από τα ερωτήματα που προκαλούσαν αμηχανία στους κοσμολόγους για μεγάλο χρονικό διάστημα. 
Σήμερα, οι περισσότεροι θεωρητικοί πιστεύουν στην θεωρία του πληθωρισμού (και υπάρχουν ορισμένες αποδείξεις στην Μικροκυματική Ακτινοβολία Υποβάθρου που την υποστηρίζουν). 
Σύμφωνα με αυτή τη θεωρία, το Σύμπαν υπέστη μια πολύ σύντομη εκθετική διαστολή περίπου 10-30 δευτερόλεπτα μετά το Big Bang. 
Το αποτέλεσμα αυτής της απίστευτης διαστολής ήταν το εξής: το σύμπαν από το μέγεθος του ενός ατόμου διευρύνθηκε πολύ γρήγορα στο μέγεθος του ηλιακού μας συστήματος, μέχρι το τέλος της πληθωριστικής εποχής. 
Σε μια τέτοια περίπτωση, ανεξάρτητα από την αρχική γεωμετρία του Σύμπαντος, το τελευταίο μας φαίνεται επίπεδο.

Σκεφθείτε το και αλλιώς. 
Πέρα από τις όποιες παρατηρήσεις που έχουμε για το επίπεδο σύμπαν, οι αποστάσεις που αντιλαμβανόμαστε σε αυτό το αχανές σύμπαν είναι πάρα πολύ μικρές για να ανιχνεύσουμε οποιαδήποτε ενδεχόμενη καμπυλότητα στο Σύμπαν.

Μήπως όμως κάνουμε λάθος; 
Μήπως οι παρατηρήσεις μας δεν είναι σωστές;

Είναι αλήθεια πως οι έρευνες στον ουρανό για να αποδειχθεί η επιπεδότητα δεν γίνονται σε όλο το Σύμπαν, αλλά σε ένα μικρό τμήμα του, το λεγόμενο παρατηρήσιμο σύμπαν. 
Εξ ορισμού, "Σύμπαν" αποτελεί ό,τι υπάρχει, ενώ το παρατηρήσιμο σύμπαν είναι ό,τι υπάρχει μέσα στον δικό μας ορίζοντα (δηλαδή, ο όγκος του σύμπαντος, εντός του οποίου το φως είχε τον απαραίτητο χρόνο για να φτάσει ως εμάς). 
Κάθε παρατήρηση που κάνουμε περιορίζεται μόνο στο παρατηρήσιμο σύμπαν, και δεν έχουμε τη δυνατότητα να γνωρίζουμε με βεβαιότητα τι συμβαίνει πέρα από αυτόν τον ορίζοντα. Επομένως, όταν λέμε ότι ο δορυφόρος WMAP μας πρόσφερε  ισχυρά αποδεικτικά στοιχεία ότι το σύμπαν είναι επίπεδο, στην πραγματικότητα σημαίνει ότι ο δορυφόρος WMAP μας πρόσφερε  ισχυρά αποδεικτικά στοιχεία ότι το παρατηρήσιμο σύμπαν είναι επίπεδο.

Και αφού δεν γνωρίζουμε το αθέατο ή αυτό που είναι πέραν του παρατηρήσιμου σύμπαντος  γιατί ισχυριζόμαστε ότι όλο το Σύμπαν είναι επίπεδο. Επειδή, σύμφωνα με την πληθωριστική θεωρία, ακόμα και αν το Σύμπαν έχει κάποια καμπυλότητα, το παρατηρήσιμο σύμπαν θα πρέπει να είναι επίπεδο στο βαθμό στον οποίο έχουμε τη δυνατότητα να το μετρούμε.

Αν λοιπόν το πληθωριστικό μοντέλο είναι αληθινό τότε ναι είναι πραγματική και η επιπεδότητα (χωρίς καμιά καμπυλότητα) του παρατηρήσιμου σύμπαντος.  

Το σύμπαν για… αρχάριους - Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης

 

Γεωμετρία, Τοπολογία και Πεπρωμένο του Σύμπαντος – Physics4u's ...

 

Γεωμετρία, Τοπολογία και Πεπρωμένο του Σύμπαντος

Όταν σκεφτόμαστε το σύμπαν στη γενική σχετικότητα (GR) πρέπει να απαντήσουμε σε τρεις πολύ διαφορετικές έννοιες: Ποιό είναι το σχήμα του σύμπαντος; Είναι το σύμπαν πεπερασμένο ή άπειρο; Θα διαστέλλεται το σύμπαν για πάντα ή θα συσταλεί αργότερα.
brilliant-star-universe Όταν εφαρμόζουμε GR στη κοσμολογία, κάνουμε χρήση απλοποιητικών παραδοχών, που υποστηρίζονται από παρατηρήσεις, ότι υπάρχει ένας ορισμός του χρόνου τέτοιος ώστε σε μια σταθερή τιμή του χρόνου, το σύμπαν είναι χωρικά ομοιογενές (μοιάζει δηλαδή το ίδιο όπου κι αν είναι ο παρατηρητής) και ισοτροπικό (μοιάζει το ίδιο προς όλες τις κατευθύνσεις γύρω από ένα σημείο).
Στη συνέχεια μελετώντας την GR γράφουμε τις εξισώσεις του Αϊνστάιν με τις κατάλληλες πηγές (κανονική ύλη, σκοτεινή ύλη, ακτινοβολία, μια κοσμολογική σταθερά, κλπ.). Οι λύσεις για τις εξισώσεις αυτές είναι οι περίφημοι χωροχρόνοι Friedmann, Robertson-Walker, που περιγράφουν την διαστολή (ή συστολή) του σύμπαντος.
Η GR είναι πράγματι μία όμορφη γεωμετρική θεωρία που περιγράφει ένα καμπύλο χωρόχρονο. Αλλά στην πράξη, επιλύουμε διαφορικές εξισώσεις, με την επιφύλαξη (στην προκειμένη περίπτωση) ότι το σύμπαν μοιάζει όπως είναι σήμερα. Οι διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν την τοπική συμπεριφορά του συστήματος και έτσι, στη Γενική Σχετικότητα, αυτές περιγράφουν την τοπική γεωμετρία στη γειτονιά ενός σημείου του χωροχρόνου.
Επειδή η ομοιογένεια και η ισοτροπία είναι αρκετά περιοριστικές υποθέσεις, υπάρχουν μόνο τρεις πιθανές απαντήσεις για την τοπική γεωμετρία του χώρου σε οποιοδήποτε σταθερό σημείο στο χρόνο – μπορεί να είναι χωρικά θετικά κυρτωμένη (σε τοπικό επίπεδο αυτό μοιάζει σαν μία 3-τρισδιάστατη σφαίρα), επίπεδη (σε τοπικό επίπεδο αυτό μοιάζει σαν μια 3-τρισδιάστατη εκδοχή μιας επίπεδης επιφάνειας) ή χωρικά αρνητικά κυρτωμένη (σε τοπικό επίπεδο μοιάζει σαν ένα 3-διαστάσεων υπερβολοειδές).
Μια ορισμένη κοσμολογική λύση στην GR μας δίνει μία από αυτές τις τρεις πιο πάνω απαντήσεις γύρω από ένα σημείο του χωροχρόνου, όμως λόγω της ομοιογένειας αυτή η λύση σε ένα σημείο είναι λύση σε κάθε σημείο στον χωροχρόνο. Αυτό εννοούμε όταν λέμε ότι η GR μας λέει για τη γεωμετρία – το σχήμα του σύμπαντος – όπως αυτή απεικονίζεται στο παρακάτω γράφημα της NASA.
geometry_of_universe Αυτό όμως εγείρει ένα πολύ διαφορετικό ζήτημα που συχνά συγχέεται με τα παραπάνω. Εάν η λύση μας μας λέει ότι το σύμπαν είναι τοπικά μία τρισδιάστατη σφαίρα (ή μια επίπεδη επιφάνεια, ή ένα υπερβολοειδές) γύρω από κάθε σημείο, τότε δεν σημαίνει ότι πρόκειται για μία τρισδιάστατη σφαίρα, ή ένα άπειρο επίπεδο τρισδιάστατο χώρο, ή ένα άπειρο υπερβολοειδές. Αυτό είναι πραγματικά ένα θέμα της τοπολογίας, που απαντά και στο ερώτημα αν το Σύμπαν είναι πεπερασμένο ή άπειρο.
Για να εξηγηθεί αυτό το σημείο, ας υποθέσουμε ότι έχουμε λύσει τις κοσμολογικές εξισώσεις της GR, και ανακαλύψαμε ότι σε κάθε σημείο του χωροχρόνου, το σύμπαν είναι τοπικά ένας επίπεδος 3-διάστατος χώρος. Αυτό που δηλαδή μας δείχνουν οι παρατηρήσεις ότι μοιάζει το σύμπαν μας. Μπορείτε όμως να σκεφτείτε πολλούς διαφορετικούς χώρους με αυτή ακριβώς την ίδια ιδιότητα. Ένα παράδειγμα είναι, φυσικά, ότι το σύμπαν είναι πράγματι ένας επίπεδος, άπειρος 3-διάστατος χώρος. Ένα δεύτερο παράδειγμα είναι ότι το σύμπαν μπορεί να είναι ένας 3 διαστάσεων τόρος, στον οποίο αν θέλατε να κρατήσετε σταθερό τον χρόνο και να κάνετε μια γραμμή από οποιοδήποτε σημείο κατά μήκος του x, y ή z-άξονα, θα κόβατε έναν κύκλο και θα φτάνατε πίσω ακριβώς από εκεί που ξεκίνησε. Αυτός είναι ένας χώρος πεπερασμένου όγκου, που συνδέεται με ένα πολύ συγκεκριμένο τρόπο, αλλά που είναι όμως επίπεδος παντού, όπως και το προηγούμενο παράδειγμα με το άπειρο. Σε δύο διαστάσεις, θα μπορούσε κανείς να τον απεικονίσει ως:
Torus Φυσικά, θα μπορούσαμε να είχαμε φτιάξει μία ή δύο κατευθύνσεις σε κύκλους ή να φτιάξουμε τον χώρο σε ένα πεπερασμένο με περισσότερες από μία τρύπες, ή οποιαδήποτε άλλη δυνατότητα.
Αυτή είναι η ομορφιά της τοπολογίας, αλλά δεν είναι κάτι που μας το διευκρινίζει επιλύοντας απλώς τις εξισώσεις της Γενικής Σχετικότητας. Μάλλον πρόκειται για μια πρόσθετη πηγή για την εξεύρεση των λύσεων. Είναι, όμως, κάτι που μπορούμε να ελέγξουμε, πιο συγκεκριμένα μέσα από τις μετρήσεις της κοσμικής μικροκυματικής ακτινοβολίας υποβάθρου.
Εντελώς ανεξάρτητα από τις ερωτήσεις της τοπολογίας, η γεωμετρία μιας δεδομένης κοσμολογικής λύσης δημιουργεί ένα άλλο ζήτημα που συχνά συγχέεται με εκείνα της γεωμετρίας και της τοπολογίας. Ας υποθέσουμε ότι το σύμπαν περιέχει μόνο τις συμβατικές πηγές ύλης (κανονική ύλη, σκοτεινή ύλη και την ακτινοβολία), και ας υποθέσουμε ότι γνωρίζετε (ίσως να αναρωτηθούμε αν αυτό είναι πραγματικά δυνατόν) ότι αυτές είναι οι μόνες που θα περιείχε ποτέ. Τότε οι εξισώσεις εύκολα προβλέπουν ότι, σε περίπτωση σύμπαντος θετικής χωρικής κυρτότητας, ένα διαστελλόμενο σύμπαν θα φτάσει τελικά στο μέγιστο μέγεθος και μετά θα ακολουθήσει την αντίστροφη πορεία, της συστολής, προς μία Μεγάλη Σύνθλιψη, ενώ επίπεδα ή με αρνητική κυρτότητα σύμπαντα θα επεκτείνονταν για πάντα. Αυτές είναι οι προβλέψεις σχετικά με το πεπρωμένο του σύμπαντος, και συχνά οδηγούν στην ακόλουθη σύνδεση
3geomtrs Ωστόσο, όπως καταστήσαμε σαφές, υπάρχουν κάποιες υποθέσεις που πηγαίνουν στην σχέση μεταξύ της γεωμετρίας και της μοίρας του σύμπαντος, και παρόλο που αυτά μπορεί να φαίνονταν λογικά σε μία εποχή, ξέρουμε σήμερα ότι η επιταχυνόμενη διαστολή του σύμπαντος φαίνεται να υποδηλώνει την ύπαρξη ενός είδους σκοτεινής ενέργειας (μια κοσμολογική σταθερά, για παράδειγμα), που συμπεριφέρεται με έναν τρόπο αρκετά διαφορετικό από τις συμβατικές πηγές υλο-ενέργειας. Στην πραγματικότητα, γνωρίζουμε ότι για πηγές, όπως αυτή, όταν αρχίζει η επιτάχυνση, είναι εύκολα δυνατό για ένα σύμπαν με θετική καμπύλη, για παράδειγμα, να επεκτείνεται για πάντα. Πράγματι, στην περίπτωση της κοσμολογικής σταθεράς, αυτό ακριβώς  συμβαίνει.
Έτσι, το σύμπαν μπορεί να είναι είτε θετικά είτε αρνητικά κυρτό, ή επίπεδο, και οι λύσεις μας στην GR αυτό μας λένε. Οι λύσεις μπορούν να είναι πεπερασμένες ή άπειρες, και να συνδέονται με ενδιαφέροντες τρόπους, αλλά η GR δεν θα μας πει γιατί συμβαίνει αυτό. Και το σύμπαν μπορεί να διαστέλλεται για πάντα ή να συσταλεί αργότερα, αλλά αυτό εξαρτάται από τις ακριβείς ιδιότητες της κοσμικής ενέργειας, και όχι μόνο από την γεωμετρία. Οι κοσμολογικοί χωροχρόνοι είναι μερικοί από τις πιο απλές λύσεις στην GR που γνωρίζουμε, και ακόμη αυτοί υιοθετούν όλα τα είδη των δυνητικών περιπλοκών, πέρα ​​από τις πιο προφανείς δυνατότητες.
Γραμμένο από τον Mark Trodden στο Cosmic Variance

 Αποτέλεσμα εικόνας για Τόρος


Τόρος

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Ένας τόρος
Καθώς η απόσταση από τον άξονα περιστροφής μειώνεται, ο δακτυλιοειδής τόρος γίνεται κερατοειδής τόρος, στη συνέχεια ατρακτοειδής τόρος και τελικά εκφυλίζεται σε μια σφαίρα.
 
Στη γεωμετρία, o τόρος είναι ένα στερεό εκ περιστροφής που παράγεται από την περιστροφή ενός κύκλου στον τρισδιάστατο χώρο γύρω από έναν άξονα συνεπίπεδο με τον κύκλο. Συνήθως ο άξονας δεν τέμνει ούτε εφάπτεται με τον κύκλο, οπότε σε αυτή την περίπτωση η επιφάνεια έχει σχήμα δακτυλιοειδές και καλείται δακτυλιοειδής τόρος, ή απλά τόρος και υπονοείται σιωπηρά ότι έχει δακτυλιοειδές σχήμα. Ορισμένες φορές καλείται (λανθασμένα) δακτύλιος, ωστόσο ο δακτύλιος είναι ένα δισδιάστατο επίπεδο σχήμα διαφορετικό από τον τρισδιάστατο τόρο.
Όταν ο άξονας εφάπτεται με τον κύκλο, η επιφάνεια που προκύπτει ονομάζεται κερατοειδής τόρος, όταν ο άξονας συμπίπτει με μια χορδή του κύκλου, τότε ονομάζεται ατρακτοειδής τόροςαξονικός τόρος). Μια εκφυλισμένη περίπτωση τόρου έχουμε όταν ο άξονας συμπίπτει με τη διάμετρο του κύκλου, οπότε παράγεται απλώς η επιφάνεια μιας 2-σφαίρας. Ο δακτυλιοειδής τόρος οριοθετεί ένα γεωμετρικό στερεό που λέγεται τοροειδές, ή δακτυλιοειδή τοροειδές. Διάφορα αντικείμενα που έχουν σχήμα που μοιάζει με το τοροειδές είναι για παράδειγμα τα τοροειδή πηνία, οι μετασχηματιστές, κάποια σωσίβια (κενά στο εσωτερικό τους), κ.λπ.
Ο τόρος δεν θα πρέπει να συγχέεται με τον στερεό τόρο, ο οποίος σχηματίζεται από την περιστροφή ενός δίσκου, αντί ενός κύκλου, γύρω από έναν άξονα. Συνεπώς, είναι ο τόρος μαζί με τον όγκο στο εσωτερικό του. Διάφορα αντικείμενα που προσεγγίζουν τον στερεό τόρο είναι το κουλούρι, το ντόνατς, κάποια σωσίβια (χωρίς κενό το εσωτερικό τους), κ.λπ.
Στην τοπολογία, ο δακτυλιοειδής τόρος είναι ομοιομορφικός προς το καρτεσιανό γινόμενο δύο κύκλων (S1 × S1), που τελευταία θεωρείται ως ο ορισμός του τόρου στον τομέα αυτό. Ο τόρος από τοπολογική άποψη είναι μια συνεκτική 2-πολλαπλότητα γένους 1.
Ο δακτυλιοειδής τόρος είναι ένας τρόπος για να ενσωματωθεί αυτός ο χώρος στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο, αλλά ένας άλλος τρόπος για να γίνει αυτό είναι το καρτεσιανό γινόμενο της ενσωμάτωσης του S1 στο επίπεδο. Αυτό παράγει ένα γεωμετρικό αντικείμενο που ονομάζεται Κλίφορντ τόρος, μια επιφάνεια χώρου τεσσάρων διαστάσεων.
Η λέξη τόρος προέρχεται από την λατινική λέξη torus, που σημαίνει μαξιλάρι.[1]

Γεωμετρία

Ένας τόρος είναι το γινόμενο δύο κύκλων, μόνο ένας εκ των οποίων φαίνεται σε αυτό το διάγραμμα. Ο κόκκινος κύκλος κάνει σάρωση γύρω από έναν άξονα, ο οποίος δεν απεικονίζεται, και έχει ακτίνα r, ενώ ο ματζέντα έχει R.
δακτυλιοειδής τόρος
R > r :
Δακτυλιοειδής
κερατοειδής τόρος
R = r :
Κερατοειδής
ατρακτοειδής τόρος
R < r :
Ατρακτοειδής
Μισά του κάτω μέρους και οι εγκάρσιες διατομές των τριών κατηγοριών του τόρου
Ένα διάγραμμα που απεικονίζει την πολοειδή (θ) κατεύθυνση, που αντιπροσωπεύεται από το κόκκινο βέλος, και την δακτυλιοειδή (ζ ή φ) κατεύθυνση, που αντιπροσωπεύεται από το μπλε βέλος.
Στο παραμετρικό σύστημα συντεταγμένων ένας τόρος ορίζεται ως:[2][3]
{\displaystyle {\begin{aligned}x(\theta ,\varphi )&=(R+r\cos \theta )\cos {\varphi }\\y(\theta ,\varphi )&=(R+r\cos \theta )\sin {\varphi }\\z(\theta ,\varphi )&=r\sin \theta \end{aligned}}}
όπου
θ, φ είναι οι γωνίες που κάνουν έναν πλήρη κύκλο, έτσι ώστε οι τιμές τους να ξεκινούν και να καταλήγουν στο ίδιο σημείο,
R είναι η απόσταση από το κέντρο του σωλήνα μέχρι το κέντρο του τόρου,
r είναι η ακτίνα του σωλήνα.
Η R είναι γνωστή ως «μείζονα ακτίνα» και η r ως «ελάσσονα ακτίνα».[4] Ο λόγος της R προς την r είναι γνωστός ως αναλογία διαστάσεων (aspect ratio). Ένα ντόνατ έχει αναλογία διαστάσεων περίπου 2 προς 3.
Μια υπονοούμενη εξίσωση σε Καρτεσιανές συντεταγμένες για έναν ακτινικά συμμετρικό τόρο γύρω από τον άξονα z είναι
{\displaystyle \left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}=r^{2}}
είτε είναι η λύση του {\displaystyle f(x,y,z)=0,} όπου
{\displaystyle f(x,y,z)=\left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}-r^{2}}
Εξαλείφοντας αλγεβρικά την τετραγωνική ρίζα δίνει μια εξίσωση τέταρτου βαθμού:
{\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2})^{2}=4R^{2}(x^{2}+y^{2})}

Οι τρεις κατηγορίες διαφορετικών τόρων αντιστοιχούν στις τρεις πιθανές αναλογίες διαστάσεων μεταξύ των R και r:
  • Αν R > r, τότε η επιφάνεια θα είναι ο γνωστός δακτυλιοειδής τόρος.
  • Αν R = r, τότε αντιστοιχεί σε κερατοειδή τόρο, ο οποίος στην πραγματικότητα είναι τόρος χωρίς "οπή".
  • Αν R < r, τότε διαγράφεται ένας αυτο-τεμνόμενος ατρακτοειδής τόρος.
  • Αν R = 0, τότε ο τόρος εκφυλίζεται σε σφαίρα.
Στις περιπτώσεις που ισχύει Rr, το εσωτερικό
{\displaystyle \left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}<r^{2}}
αυτού του τόρου είναι διαφορομορφικό (και ως εκ τούτου, ομοιομορφικό) στο γινόμενο ενός Ευκλείδειου ανοικτού δίσκου και ενός κύκλου. Το εμβαδόν της επιφανείας και ο όγκος του εσωτερικού τού παρόντος τόρου υπολογίζονται εύκολα χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Πάππου, που δίνει:[5]
{\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)=4\pi ^{2}Rr\\V&=\left(\pi r^{2}\right)\left(2\pi R\right)=2\pi ^{2}Rr^{2}\end{aligned}}}
Αυτές οι φόρμουλες είναι ίδιες με αυτές ενός κυλίνδρου μήκους 2πR και ακτίνα r, που δημιουργήθηκε με κοπή του σωλήνα του και εκτύλιξή του με ίσιωση πάνω στη γραμμή που βρίσκεται γύρω από το κέντρο του σωλήνα. Οι απώλειες της εσωτερικής πλευράς του σωλήνα στο εμβαδόν της επιφανείας, όσο και στον όγκο, ακυρώνουν τα ισόποσα κέρδη στην εξωτερική πλευρά του σωλήνα.
Όπως το γινόμενο δύο κύκλων είναι ένας τόρος, μερικές φορές χρησιμοποιείται ομοίως και σε μία τροποποιημένη έκδοση του συστήματος σφαιρικών συντεταγμένων. Στην παραδοσιακές σφαιρικές συντεταγμένες υπάρχουν τρία μέτρα, η απόσταση R από το κέντρο του συστήματος συντεταγμένων, και οι θ, φ γωνίες οι οποίες μετρούνται από το κεντρικό σημείο. Όπως ένας τόρος έχει ουσιαστικά δύο κεντρικά σημεία, έτσι μετακινούνται και τα κεντρικά σημεία των γωνιών. Η φ μετρά την ίδια γωνία που μετρά και στο σφαιρικό σύστημα, αλλά είναι γνωστή ως η "τοροειδής" κατεύθυνση. Το κεντρικό σημείο της θ κινείται προς το κέντρο της r και είναι γνωστή ως η "πολοειδής" κατεύθυνση. Οι όροι αυτοί χρησιμοποιήθηκαν για πρώτη φορά σε μια συζήτηση για το μαγνητικό πεδίο της Γης, όπου η "πολοειδής» χρησιμοποιήθηκε για να δηλώσει «την κατεύθυνση προς τους πόλους».[6]
Στη σύγχρονη χρήση τους οι όροι αυτοί χρησιμοποιούνται συχνότερα για αναφορά σε συσκευές που κάνουν σύντηξη με μαγνητική συγκράτηση.

Τοπολογία

Στην τοπολογία, ένας τόρος είναι μια κλειστή επιφάνεια που ορίζεται ως το γινόμενο δύο κύκλων (S1 × S1). Έτσι μπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται σε έναν πολύπλοκο χώρο συντεταγμένων C2 και είναι υποσύνολο της 3-σφαίρας S3 με ακτίνα 2. Αυτός ο τοπολογικός τόρος συχνά ονομάζεται και Κλίφορντ τόρος. Στην πραγματικότητα, με αυτόν τον τρόπο, η S3 έχει συμπληρωθεί από κάποιο είδος ένθετων τόρων (με δύο εκφυλισμένους κύκλους), γεγονός το οποίο είναι σημαντικό για τη μελέτη των S3 ως δέσμη ινών πάνω σε S2.
Η επιφάνεια που περιγράφεται παραπάνω, δεδομένης της σχετικής τοπολογίας του πραγματικού χώρου συντεταγμένων R3, είναι ομοιομορφική προς έναν τοπολογικό τόρο εφ' όσον δεν τέμνει τον άξονά του. Ένας ιδιαίτερος πμοιομορφισμός δίνεται από την στερεογραφική προβολή του τοπολογικού τόρου στον R3 από τον βόρειο πόλο της S3.
Ο τόρος μπορεί επίσης να περιγραφεί ως ένα πηλίκο του Καρτεσιανού επιπέδου σύμφωνα με τις ταυτοποιήσεις:
(x, y) ~ (x+1, y) ~ (x, y+1)
Είτε, ισοδύναμα, ως το πηλίκο ενός μοναδιαίου τετράγωνου με επικόλληση των αντιθέτων του πλευρών, που περιγράφεται ως ένα βασικό πολύγωνο ABA−1B−1.
Η βασική ομάδα του τόρου είναι απλώς ένα άμεσο γινόμενο της βασικής ομάδας του κύκλου με τον εαυτό της:
{\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {T} ^{2})=\pi _{1}(S^{1})\times \pi _{1}(S^{1})\cong \mathbf {Z} \times \mathbf {Z} .}
Γυρίζοντας έναν διατρημένο τόρο μέσα-έξω
Διαισθητικά μιλώντας, αυτό σημαίνει ότι η κλειστή διαδρομή που περιβάλλει την "οπή" του τόρου (ας πούμε, ένας κύκλος που διαγράφει ένα συγκεκριμένο γεωγραφικό πλάτος) και στη συνέχεια περιβάλλει το "σώμα" του τόρου (ας πούμε, ένας κύκλος που διαγράφει ένα συγκεκριμένο γεωγραφικό μήκος) μπορεί να παραμορφωθεί σε μια διαδρομή που περιβάλλει το σώμα και στη συνέχεια την οπή. Έτσι ανταλάσσονται τα αυστηρώς «γεωγραφικά» και τα αυστηρώς «διαμήκη» μονοπάτια. Αυτό μπορούμε να το φανταστούμε ως δύο κορδόνια που διέρχονται το ένα στο άλλα, μετά ξετυλίγονται και πάλι τυλίγονται.
Εάν ένας τόρος είναι διάτρητος και γύρισε από μέσα έξω, στη συνέχεια, γίνεται ένας άλλος τόρος, καθώς εναλλάσσονται οι γραμμές του γεωγραφικού μήκους και του γεωγραφικού πλάτους.
Η πρώτη ομόλογη ομάδα του τόρου είναι ισομορφική προς τη βασική ομάδα του. Αυτό προκύπτει από το θεώρημα Hurewicz, δεδομένου ότι η βασική ομάδα είναι αβελιανή.

Δύο φύλλα κάλυψης

Ο 2-τόρος διπλοκαλύπτει τη 2-σφαίρα, με τέσσερα σημεία διακλάδωσης. Κάθε σύμμορφη δομή πάνω στον 2-τόρο μπορεί να παρασταθεί ως δύο φύλλα κάλυψης της 2-σφαίρας. Τα σημεία του τόρο που αντιστοιχούν στα σημεία διακλάδωσης λέγονται σημεία Weierstrass. Ο τύπος σύμμορφων του τόρου καθορίζεται, στην πραγματικότητα, από την εγκάρσια αναλογία των τεσσάρων σημείων διακλάδωσης.

Η στερεογραφική προβολή ενός Κλίφορντ τόρου σε τέσσερις διαστάσεις πραγματοποιεί μια απλή περιστροφή στο επίπεδο xz
 
Ο τόρος έχει μια γενίκευση σε υψηλότερες διαστάσεις, ως n-διάστατος τόρος, που συχνά αποκαλείται n-τόρος ή υπερτόρος για συντομία (αυτή είναι η μία από τις δύο διαφορετικές σημασίες του όρου «n-τόρος»). Υπενθυμίζοντας ότι ο τόρος είναι ο χώρος του γινομένου δύο κύκλων, συνεπώς ο n-διάστατος τόρος είναι ο χώρος του γινομένου n κύκλων. Αυτό εκφράζεται ως:
{\displaystyle \mathbf {T} ^{n}=\underbrace {S^{1}\times \cdots \times S^{1}} _{n}.}
Ο 1-τόρος είναι για την ακρίβεια ο κύκλος, δηλαδή T1 = S1. Ο τόρος που αναφέρθηκε παραπάνω είναι ο 2-τόρος, T2. Παρομοίως με τον 2-τόρο, ο n-τόρος, Tn, μπορεί να περιγραφεί ως το πηλίκο του Rn κάτω από αναπόσπαστες μετατοπίσεις σε κάθε συντεταγμένη. Δηλαδή, ο n-τόρος είναι το Rn υπόλοιπο της δράσης του ακεραίου πλέγματος Zn (η δράση εκλαμβάνεται ως προσθήκη διανύσματος). Ισοδύναμα, ο n-τόρος αποκτάται από τον n-διαστάσεων υπερκύβο "κολλώντας" τις αντίθετετες μεταξύ τους έδρες.
Οι αυτομορφισμοί του T κατασκευάζονται εύκολα από αυτομορφισμούς του πλέγματος Zn, οι οποίοι χαρακτηρίζονται από αντιστρέψιμους ενσωματωμένους πίνακες μεγέθους n με ενσωματωμένο αντίστροφο. Αυτοί είναι μόνο οι ενσωματωμένοι πίνακες με ορίζουσα ±1. Κάνοντας τους να δράσουν στο Rn με τον συνήθη τρόπο, κάποιος έχει στο πηλίκο τον τυπικό τοροειδή αυτομορφισμό.
Η βασική ομάδα του n-τόρου είναι μια ελεύθερη αβελιανή ομάδα τάξης n. Η k-οστή ομάδα ομολογίας του n-τόρου είναι μια ελεύθερη αβελιανή ομάδα τάξης n ανά k. Επομένως, η χαρακτηριστική Όιλερ του n-τόρου είναι 0 για κάθε n. Ο συνομόλογος δακτύλιος H(TnZ) μπορεί να αναγνωριστεί με εξωτερική άλγεβρα κατά τη διάρκεια της Z-ενότητας, Zn γεννήτριες των οποίων είναι διπλά των n μη τετριμμένων κύκλων.

Πολλαπλός τόρος

Στη θεωρία των επιφανειών υπάρχει το αντικείμενο πολλαπλός τόρος, που συχνά αποκαλείται n-πλάσιος τόρος ή n-οπών τόρος. Ένας n-πλάσιος τόρος, αντί να είναι το γινόμενο n κύκλων, είναι το άθροισμα n συνδεδεμένων 2-τόρος. Για να σχηματιστεί ένα συνδεδεμένο άθροισμα δύο επιφανειών, αφαιρούμε από την κάθε μια το εσωτερικό του δίσκου της και «κολλάμε» τις επιφάνειες μεταξύ τους κατά μήκος των κυκλικών ορίων των δίσκων τους. Για να σχηματιστεί το συνδεδεμένο άθροισμα περισσότερων των δύο επιφανειών, αθροίζουμε δύο από αυτές τη φορά έως ότου συνδεθούν όλες. Υπό την έννοια αυτή, ένας n-τόρος μοιάζει με την επιφάνεια n κουλουριών που κολλάνε όλα μαζί το ένα πλάι στο άλλο.
Ένας συνηθισμένος τόρος είναι ένας 1-πλάσιος τόρος, ο 2-πλάσιος τόρος ονομάζεται διπλός τόρος, ο 3-πλάσιος τόρος τριπλός τόρος, και ούτω καθεξής. Ο n-πλάσιος τόρος λέμε ότι είναι μια "προσανατολίσιμη επιφάνεια" γένους n, όπου το γένος είναι ο αριθμός των οπών (ή "λαβών"). Ο 0-πλάσιος τόρος είναι η 2-σφαίρα.
Το θεώρημα ταξινόμησης για επιφάνειες δηλώνει ότι κάθε συμπαγής συνδεδεμένη επιφάνεια είναι τοπολογικά ισοδύναμη είτε με σφαίρα, είτε με n-πλάσιο τόρο όπου n > 0, είτε με συνδεδεμένο άθροισμα n προβολικών επιπέδων όπου n > 0 (δηλαδή, προβολικά επίπεδα πάνω σε πραγματικούς αριθμούς).
Double torus illustration.png
Διπλός τόρος
Triple torus illustration.png
Τριπλός τόρος

Τοροειδή πολύεδρα

Ένα τοροειδές πολύεδρο με 6 × 4 = 24 τετράπλευρες έδρες.
Τα πολύεδρα με τοπολογικό τύπο τόρου καλούνται τοροειδή πολύεδρα και έχουν χαρακτηριστική Όιλερ V − E + F = 0. Για τυχόν αριθμό οπών, ο τύπος γενικεύεται ως V − E + F = 2 − 2N, όπου N είναι ο αριθμός των οπών.
Ο όρος «τοροειδές πολύεδρο» χρησιμοποιείται επίσης σε υψηλότερου γένους πολύεδρα, καθώς και σε βυθίσεις τορειδών πολυέδρων.

Κοπή ενός τόρου

Ένα τυπικός τόρος (συγκεκριμένα ένας δακτυλιοειδής τόρος) μπορεί να κοπεί με n επίπεδα το πολύ σε m μέρη, σύμφωνα με τον τύπο:[7]
{\displaystyle m={\tfrac {1}{6}}(n^{3}+3n^{2}+8n)\qquad \forall \ n\in \mathbb {N} ^{*}}
Οι αρχικοί όροι αυτής της ακολουθίας είναι: 2, 6, 13, 24, 40, … (ακολουθία A003600 στην OEIS).

Χρωματισμός ενός τόρου

Εάν χωρίσουμε έναν τόρο σε περιοχές, τότε είναι δυνατό να χρωματιστούν οι περιοχές αυτές, έτσι ώστε η κάθε γειτονική περιοχή να έχει διαφορετικό χρώμα, έτσι θα χρειαστούν τουλάχιστον επτά χρώματα. Αυτό έρχεται σε αντίθεση με το θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων που ισχύει στο επίπεδο, λόγω του ότι ο τόρος είναι τρισδιάστατο αντικείμενο.
Αυτή η κατασκευή δείχνει τον τόρο χωρισμένο και χρωματισμένο σε επτά περιοχές, κάθε μία εκ των οποίων εφάπτεται όλων των άλλων.
 
 
 

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Ιωάννης Τζανάκος - Ιστολόγια

Δρεπάνι

Δρεπάνι
Δρεπάνι..

Αρχειοθήκη ιστολογίου

Kurdistan

Nichts

Nichts

Πολιτική και Γεωπολιτική..

Στα όρια..

Ουρανός

Ουρανός

Ερμηνείες της ιστορίας..

Επιστημονικά και επιστημονικοφανή..