Υπόθεση εργασίας για μια νέα διαλεκτική «γεωμετρία» (Working case for a new dialectical “geometry”)

Σύνοψη. 

Βασική οντολογική έννοια της διαλεκτικής είναι η ανεπίλυτη αντίθεση. 

Συνήθως νοείται ως δίπολο (dipole), όπου η υπέρβαση παράγει ένα «τρίτο» σημείο και άρα ένα «τρίγωνο». 

Εδώ προτείνεται ότι οι πόλοι της οντολογικής διαλεκτικής πραγματικότητας είναι τουλάχιστον τρεις εξαρχής, συνεπώς η υπέρβαση/διαφυγή (escape-transcendence) δεν συγκροτεί απαραίτητα τριγωνική μορφή, αλλά οδηγεί σε ν-απλόχωρα (n-simplices) και γενικότερα σε πολύτοπα (polytopes) υψηλότερης διάστασης. 

Η «νέα γεωμετρία» της αντίφασης χαρτογραφεί τις πράξεις άρσης, μεσολάβησης και προσδιορισμού ως κινήσεις πάνω σε πρόσωπα και σκελετούς αυτών των μορφών. 

* 

Λεξάρι όρων (με αγγλικούς όρους). 

Απλόχωρο (simplex): βασικό κυρτό σχήμα. 

0-απλόχωρο=σημείο (point), 1-απλόχωρο=ευθύγραμμο τμήμα (line segment), 2-απλόχωρο=τρίγωνο (triangle), 3-απλόχωρο=τετράεδρο (tetrahedron). 

Γενικά: ν-απλόχωρο (n-simplex). 

Σύμπλεγμα απλοχώρων (simplicial complex): ένωση απλοχώρων που τέμνονται σε κοινά πρόσωπα. 

Πολύτοπο (polytope): γενικός όρος για κάθε διάσταση (στην 3-Δ: πολύεδρο (polyhedron)). 

Πρόσωπο / περιοριστικό πρόσωπο (face / facet): υποπολύτοπο χαμηλότερης διάστασης, ειδικά: κορυφή (vertex), ακμή (edge). 

Σκελετός κ-στού βαθμού (k-skeleton): όλα τα πρόσωπα διάστασης ≤ κ (k-skeleton). 

Κυρτό περίβλημα (convex hull): το ελάχιστο κυρτό σύνολο που περιέχει δοθέντα σημεία. 

Υπερεπίπεδο (hyperplane), υπερκύβος (hypercube): τυπικοί όροι υψηλών διαστάσεων. ν-άδα (n-tuple): για πλειάδες στοιχείων (προτιμάται αντί «πολυάδα»). 

* 

Θέση εκκίνησης: από το δίπολο στο ν-πολικό. 

Κλασική απεικόνιση: δίπολο αντίφασης {A, B}. 

Η υπέρβαση προστίθεται ως τρίτο σημείο T, άρα 2-απλόχωρο (τρίγωνο). 

Πρόταση: η αρχική ανεπίλυτη αντίθεση πραγματώνεται συχνά ως κ-πολικό σχήμα με κ ≥ 3. 

Η πράξη υπέρβασης εισάγει επιπλέον κορυφή και το κυρτό περίβλημα conv(P ∪ {T}) (όπου P το σύνολο πόλων) γίνεται τουλάχιστον 3-απλόχωρο (τετράεδρο) ή γενικότερα ν-απλόχωρο με ν ≥ 3. 

Συνεπώς, η «γεωμετρία» της αντίφασης δεν είναι κατ’ ανάγκη τριγωνική. 

* 

Τυπική διατύπωση (σχηματικά). 

Έστω P = {p₁, …, p_k} το σύνολο των πόλων (poles) με k ≥ 3. 

Η υπέρβαση/διαφυγή δίνει σημείο T εκτός του κυρτού περιβλήματος των υποσυνόλων που ήδη «σταθεροποιήθηκαν». 

Η οντολογική μορφή της στιγμής είναι το S = conv(P ∪ {T}), ένα ν-απλόχωρο (n-simplex) ή γενικό πολύτοπο (polytope) ανάλογα με τη θέση του T. 

Οι πράξεις άρσης (negation/aufheben), μεσολάβησης (mediation) και προσδιορισμού (determination) αντιστοιχούν σε: μεταβάσεις σκελετών (skeleton transitions): μετατόπιση εστίασης από k-faces σε (k±1)-faces. 

Έργο δενδροδιάσπασης/συγκόλλησης (collapse/expansion): τοπολογικές καταρρεύσεις και αναδύσεις στο σύμπλεγμα. 

Βαρυκεντρικούς ανασχηματισμούς (barycentric re-weightings): μεταβολή «βαρών» στους πόλους. 

* 

Αξιώματα εργασίας (working axioms). 

Πολικότητα πολλαπλότητας (multipolarity): η ουσιώδης αντίφαση σπάνια είναι αληθές δίπολο, τυπικά κ-πολική (k-ary) με κ ≥ 3. 

Υπέρβαση ως αύξηση διάστασης: η πράξη υπέρβασης τείνει να αυξάνει τη διάσταση του ενεργού απλοχώρου. 

Μεσολάβηση ως πλοήγηση προσώπων: η μεσολάβηση πραγματώνεται ως κίνηση πάνω σε πρόσωπα (faces) διαφορετικής τάξης. 

Προσδιορισμός ως επιλογή σκελετού: η συγκυριακή «ουσία» εκτίθεται από τον k-σκελετό που ενεργοποιείται (k-skeleton selection). 

Άρνηση της άρνησης ως αναδιάταξη: Όχι επιστροφή στο αρχικό, αλλά νέο απλόχωρο με διαφοροποιημένα βάρη/κορυφές. 

* 

Μεθοδολογία: από την περιγραφική στη μορφολογική διαλεκτική. 

Χαρτογράφηση πόλων (pole mapping): εντοπισμός ελάχιστου συνόλου πόλων που θρέφουν την αντίφαση. 

Δημιουργία σχήματος (shape extraction): προσδιορισμός του conv(P) και των ενεργών προσώπων. 

Εντοπισμός υπερβάσεων (transcendence points): σημεία που «σπάνε» υπάρχουσες τομές και αυξάνουν διάσταση. 

Δυναμική σκελετών (skeleton dynamics): ανάλυση μεταβάσεων ανάμεσα σε 1-, 2-, …, k-skeleta ως φάσεις. 

Τοπολογικά συμβάντα (topological events): καταρρεύσεις (collapses) και αναδύσεις (emergences) ως στιγμές ποιοτικής αλλαγής. 

* 

Ενδεικτικά σχήματα. Τριπολικό αρχικό (k=3): με υπέρβαση Τ → τετράεδρο (3-simplex). 

Η «λύση» δεν κλείνει σε τρίγωνο, ανοίγει διάσταση. 

Τετραπολικό (k=4): με υπέρβαση Τ → 4-απλόχωρο (4-simplex) ή γενικό πολύτοπο αν η T τέμνει πρόσωπα ανισομερώς. 

Συμπλέγματα υπερβάσεων: διαδοχικά T₁, T₂, … οργανώνουν σύμπλεγμα απλοχώρων (simplicial complex) που ιχνηλατεί την ιστορία των υπερβάσεων. 

* 

Ερμηνευτικός ορίζοντας (ενδεικτικός). 

Οντολογικά: η «ουσία» δεν είναι σημείο ισορροπίας δύο δυνάμεων, αλλά μορφογενετική πολλαπλότητα που μετακινεί το ενεργό απλόχωρο. 

Επιστημολογικά: η κατανόηση δεν είναι μόνο εννοιολογική σύνθεση αλλά και γεωμετρική πλοήγηση σε πρόσωπα/σκελετούς. 

Πρακτικά/πολιτικά (μετ’ επιφυλάξεων): οι πραγματικές αντιφάσεις σπάνια κλείνουν σε «δύο στρατόπεδα», η στρατηγική σκέψη οφείλει να αναγνωρίζει πολύτοπα συσχετισμών, όπου «υπέρβαση» σημαίνει ενεργοποίηση νέας κορυφής και αύξηση διάστασης του πεδίου. 

 

* Επίλογος. 

Μια βασική οντολογική έννοια της διαλεκτικής είναι η ανεπίλυτη αντίθεση. 

 Συνηθίσαμε να τη φανταζόμαστε ως δίπολο, και τότε η υπέρβαση προσθέτει ένα τρίτο σημείο, «κάνοντας» ένα τρίγωνο. 

Όμως οι πόλοι που συνιστούν τη διαλεκτική πραγματικότητα είναι συχνά τουλάχιστον τρεις, ήδη πριν από κάθε υπέρβαση. 

Γι’ αυτό η διαφυγή/υπέρβαση δεν στερεώνει ένα τριγωνικό σχήμα, γεννά ένα σχήμα ανώτερης διάστασης. 

Η αντίφαση δεν «κλείνει», ανοίγει χώρο. 

Έτσι, κάθε φορά που νομίζουμε πως λύσαμε το πρόβλημα μέσα σε δύο σημεία και μια γέφυρα, αναδύεται μια νέα κορυφή και μαζί της ένα νέο απλόχωρο. 

Αυτή η μετατόπιση δεν είναι διακοσμητική. 

Είναι ο τρόπος με τον οποίο η αντίφαση παραμένει ενεργή ενώ αλλάζει μορφή. 

Η διαλεκτική πράξη τότε μοιάζει με πλοήγηση σε πρόσωπα και σκελετούς: άλλοτε αποσπά (collapse) για να καταστήσει εμφανές το σημαίνον, άλλοτε προσθέτει (expansion) για να χωρέσει το ανείπωτο. 

Αν ζητάμε μια «γεωμετρία» αντάξια των αντιφάσεων, θα είναι γεωμετρία απλοχώρων και πολυτόπων: όπου η υπέρβαση δεν ισοδυναμεί με εξομάλυνση, αλλά με αύξηση διάστασης, όπου η μεσολάβηση δεν είναι παύση, αλλά διάβα από πρόσωπο σε πρόσωπο, όπου η άρνηση της άρνησης δεν επιστρέφει πίσω, αλλά αναδιατάσσει το σχήμα σε νέα μορφή. 

Με άλλα λόγια: η πραγματικότητα της αντίφασης δεν είναι τριγωνική, είναι πολυτοπική. 

 

Ιωάννης Τζανάκος, Ιωσήφ Κατής.